الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ - 9 & 13 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 9 + 0 & 13 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 8 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 0 + 0 \\ - 9 + 0 & 13 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 8 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 0 \\ - 9 + 0 & 13 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 8 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.3

أضف $- 9$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 0 \\ - 9 & 13 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 8 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 0 \\ - 9 & 13 - λ & 0 \\ 5 + 0 & 8 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.5

أضف $5$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 0 \\ - 9 & 13 - λ & 0 \\ 5 & 8 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.6

أضف $8$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 0 \\ - 9 & 13 - λ & 0 \\ 5 & 8 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 13 - λ & 0 \\ 8 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(8 - λ) | \begin{array}{c} 13 - λ & 0 \\ 8 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 9 & 0 \\ 5 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 9 & 0 \\ 5 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 9 & 13 - λ \\ 5 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 9 & 13 - λ \\ 5 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 13 - λ & 0 \\ 8 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 9 & 0 \\ 5 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 9 & 13 - λ \\ 5 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} - 9 & 0 \\ 5 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 13 - λ & 0 \\ 8 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 9 & 13 - λ \\ 5 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} - 9 & 13 - λ \\ 5 & 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 13 - λ & 0 \\ 8 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0$

خطوة 5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 13 - λ & 0 \\ 8 & 1 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) ((13 - λ) (1 - λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

وسّع $(13 - λ) (1 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (8 - λ) (13 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (8 - λ) (13 \cdot 1 + 13 (- λ) - λ (1 - λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (8 - λ) (13 \cdot 1 + 13 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.2.1.1

اضرب $13$ في $1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 + 13 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $13$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 13 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 13 λ - λ - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 13 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 13 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 13 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 13 λ - λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 13 λ - λ + λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.2.2

اطرح $λ$ من $- 13 λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 14 λ + λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.1.3

اضرب $- 8$ في $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 14 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.2

أضف $13 - 14 λ + λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (13 - 14 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.3

انقُل $13$ .

$p (λ) = (8 - λ) (- 14 λ + λ^{2} + 13) + 0 + 0$

خطوة 5.4.2.4

أعِد ترتيب $- 14 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 14 λ + 13) + 0 + 0$

خطوة 5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(8 - λ) (λ^{2} - 14 λ + 13) + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أضف $(8 - λ) (λ^{2} - 14 λ + 13)$ و $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 14 λ + 13) + 0$

خطوة 5.5.1.2

أضف $(8 - λ) (λ^{2} - 14 λ + 13)$ و $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 14 λ + 13)$

خطوة 5.5.2

وسّع $(8 - λ) (λ^{2} - 14 λ + 13)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 8 λ^{2} + 8 (- 14 λ) + 8 \cdot 13 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اضرب $- 14$ في $8$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 8 \cdot 13 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.2

اضرب $8$ في $13$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.6

اضرب $- 1$ في $- 14$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot 13$

خطوة 5.5.3.7

اضرب $13$ في $- 1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 112 λ + 104 - λ^{3} + 14 λ^{2} - 13 λ$

خطوة 5.5.4

أضف $8 λ^{2}$ و $14 λ^{2}$ .

$p (λ) = 22 λ^{2} - 112 λ + 104 - λ^{3} - 13 λ$

خطوة 5.5.5

اطرح $13 λ$ من $- 112 λ$ .

$p (λ) = 22 λ^{2} - 125 λ + 104 - λ^{3}$

خطوة 5.5.6

انقُل $104$ .

$p (λ) = 22 λ^{2} - 125 λ - λ^{3} + 104$

خطوة 5.5.7

انقُل $- 125 λ$ .

$p (λ) = 22 λ^{2} - λ^{3} - 125 λ + 104$

خطوة 5.5.8

أعِد ترتيب $22 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 22 λ^{2} - 125 λ + 104$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 22 λ^{2} - 125 λ + 104 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

حلّل $- λ^{3} + 22 λ^{2} - 125 λ + 104$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 104, \pm 2, \pm 52, \pm 4, \pm 26, \pm 8, \pm 13$

$q = \pm 1$

خطوة 7.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 104, \pm 2, \pm 52, \pm 4, \pm 26, \pm 8, \pm 13$

خطوة 7.1.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$- 1^{3} + 22 \cdot 1^{2} - 125 \cdot 1 + 104$

خطوة 7.1.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 22 \cdot 1^{2} - 125 \cdot 1 + 104$

خطوة 7.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + 22 \cdot 1^{2} - 125 \cdot 1 + 104$

خطوة 7.1.1.3.4

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 22 \cdot 1 - 125 \cdot 1 + 104$

خطوة 7.1.1.3.5

اضرب $22$ في $1$ .

$- 1 + 22 - 125 \cdot 1 + 104$

خطوة 7.1.1.3.6

أضف $- 1$ و $22$ .

$21 - 125 \cdot 1 + 104$

خطوة 7.1.1.3.7

اضرب $- 125$ في $1$ .

$21 - 125 + 104$

خطوة 7.1.1.3.8

اطرح $125$ من $21$ .

$- 104 + 104$

خطوة 7.1.1.3.9

أضف $- 104$ و $104$ .

$0$

خطوة 7.1.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- λ^{3} + 22 λ^{2} - 125 λ + 104}{λ - 1}$

خطوة 7.1.1.5

اقسِم $- λ^{3} + 22 λ^{2} - 125 λ + 104$ على $λ - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$22 λ^{2}$

$125 λ$

$104$

خطوة 7.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$

خطوة 7.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- λ^{3} + λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$

خطوة 7.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $21 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$21 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$

خطوة 7.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$21 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$
					+	$21 λ^{2}$	-	$21 λ$

خطوة 7.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $21 λ^{2} - 21 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$21 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$
					-	$21 λ^{2}$	+	$21 λ$

خطوة 7.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$21 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$
					-	$21 λ^{2}$	+	$21 λ$
							-	$104 λ$

خطوة 7.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$	+	$21 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$
					-	$21 λ^{2}$	+	$21 λ$
							-	$104 λ$	+	$104$

خطوة 7.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 104 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$21 λ$	-	$104$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$
					-	$21 λ^{2}$	+	$21 λ$
							-	$104 λ$	+	$104$

خطوة 7.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$21 λ$	-	$104$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$
					-	$21 λ^{2}$	+	$21 λ$
							-	$104 λ$	+	$104$
							-	$104 λ$	+	$104$

خطوة 7.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 104 λ + 104$

			-	$λ^{2}$	+	$21 λ$	-	$104$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$
					-	$21 λ^{2}$	+	$21 λ$
							-	$104 λ$	+	$104$
							+	$104 λ$	-	$104$

خطوة 7.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$21 λ$	-	$104$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$22 λ^{2}$	-	$125 λ$	+	$104$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$21 λ^{2}$	-	$125 λ$
					-	$21 λ^{2}$	+	$21 λ$
							-	$104 λ$	+	$104$
							+	$104 λ$	-	$104$
										$0$

خطوة 7.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- λ^{2} + 21 λ - 104$

خطوة 7.1.1.6

اكتب $- λ^{3} + 22 λ^{2} - 125 λ + 104$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 21 λ - 104) = 0$

خطوة 7.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 104 = 104$ ومجموعهما $b = 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $21$ من $21 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 21 (λ) - 104) = 0$

خطوة 7.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $21$ في صورة $8$ زائد $13$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (8 + 13) λ - 104) = 0$

خطوة 7.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 8 λ + 13 λ - 104) = 0$

خطوة 7.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + 8 λ) + 13 λ - 104) = 0$

خطوة 7.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(λ - 1) (λ (- λ + 8) - 13 (- λ + 8)) = 0$

خطوة 7.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- λ + 8$ .

$(λ - 1) ((- λ + 8) (λ - 13)) = 0$

خطوة 7.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(λ - 1) (- λ + 8) (λ - 13) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 8 = 0$

$λ - 13 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 7.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $- λ + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $- λ + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- λ + 8 = 0$

خطوة 7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $- λ + 8 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$- λ = - 8$

خطوة 7.4.2.2

اقسِم كل حد في $- λ = - 8$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- λ = - 8$ على $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 7.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 7.4.2.2.2.2

اقسِم $λ$ على $1$ .

$λ = \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 7.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.3.1

اقسِم $- 8$ على $- 1$ .

$λ = 8$

خطوة 7.5

عيّن قيمة العبارة $λ - 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

عيّن قيمة $λ - 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 13 = 0$

خطوة 7.5.2

أضف $13$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 13$

خطوة 7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ - 1) (- λ + 8) (λ - 13) = 0$ صحيحة.

$λ = 1, 8, 13$